Modello Ohmico - diffusivo (5)

 La conduzione elettrica nei dispositivi a semiconduttori è la somma di due componenti:

• Ohmica, legata alla presenza di un campo elettrico che muova le cariche;
• diffusiva, legata a effetti termici e non uniformità nel drogaggio.

La componente Ohmica può essere verificata dimostrando la validità della legge locale di Ohm in un cristallo di Silicio di tipo n/p. 

Figura 1: Cristallo di tipo n.

Campo elettrico nel Silicio drogato

Non appena viene immesso in un campo elettrico, un pezzo di materiale semiconduttore è sottoposto alla forza del medesimo campo. Attenendosi alle leggi della fisica classica, le cariche elettriche sono sottoposte a un'accelerazione proporzionale e opposta al campo elettrico:

La realtà fisica, tuttavia, suggerisce che il reticolo cristallino e le forze intermolecolari tra gli elettroni oppongono una resistenza tale per cui si può considerare che le cariche elettriche (elettroni e lacune) si muovono con una velocità costante proporzionale al campo elettrico e dipendente dalla mobilità:

La velocità dipende linearmente dal campo elettrico solo per valori modesti. Aumentando l’intensità del campo a valori alti, la velocità degli elettroni/delle lacune tende a saturare verso un valore limite.

Modello Ohmico

La conduzione elettrica in un cristallo di silicio drogato p/n è possibile e vale la legge 

in cui la conducibilità σ dipende dalla concentrazione di elettroni liberi/lacune n/p, dalla carica elettrica q e dalla mobilità di elettroni/lacune μ:

La dimostrazione di questo enunciato avviene nel seguente modo: si consideri un pezzo di materiale semiconduttore di tipo n, di lunghezza L e sezione trasversale S e posto in un campo elettrico di intensità E (figura 1).

Vengono riportate le prime equazioni di tipo elettrico (intensità di corrente, densità volumica di carica e velocità degli elettroni): 

e quelle di tipo geometrico/meccanico (volume infinitesimo e velocità):

Sostituendo la (D) nella (C) e la (E) nella (B) si ottiene: 

Il risultato appena ottenuto, inserito nella (A), rende:

La definizione di densità di corrente afferma che con la stessa si intende il rapporto tra l'intensità di corrente e la sezione trasversale del conduttore percorso dalla medesima corrente:

e si ottiene la relazione precedentemente definita, come volevasi dimostrare.

Modello diffusivo

Oltre alla presenza di un campo elettrico, anche per effetti termici (temperatura) i semiconduttori passano allo stato di conduzione. Si consideri un pezzo di silicio di tipo n drogato in modo NON uniforme. Tenendo presente che ci si trova allo stato di equilibrio, vale che la densità di corrente è nulla per il fatto che il campo elettrico è inesistente: J = 0 essendo E = 0.

Figura 2: drogaggio non uniforme in un cristallo di Silicio di tipo n.

L'assenza di un campo elettrico non significa che le cariche siano statiche. Per effetto della temperatura, le cariche hanno una velocità termica pari alla probabilità che hanno di muoversi all'interno del cristallo. 

Figura 3: Volumetti infinitesimi.

Si prendano in considerazione due segmenti infinitesimi dx1 e dx2 di un pezzo di silicio n (figura 3). La carica totale che attraversa i due segmenti infinitesimi vale 

di cui dQ1 è la carica che scorre verso destra e dQ2 quella che scorre verso sinistra. Viene indicata con n1 e n2 la concentrazione media nei due segmenti dx1 e dx2. Poichè dx1 = dx2, si indicherà che i due volumetti hanno entrambi dimensione dV/2.

Le cariche nei due semi-volumi possono essere così espresse:

in cui viene messa in evidenza la differenza di concentrazione di drogante. Le altre equazioni di interesse sono:

Effettuando alcune sostituzioni, si ottiene che

da cui, sostituendo le equazioni delle cariche nella (B), si ottiene:

e sostituendo a sua volta nella (A):

L'ipotesi iniziale poneva che la densità di corrente fosse nulla, per assenza di campo elettrico!

Si verifica un assurdo, in quanto è stato inizialmente detto che n2 fosse maggiore di n1. 

Questa conclusione porta a dimostrare l'esistenza di una densità di corrente dovuta agli effetti di gradiente di concentrazione, il termine diffusivo.

Dipende dalla carica, dal gradiente di concentrazione di carica mobile e dal coefficiente di diffusione.

Il coefficiente di diffusione è una grandezza definita dalla Relazione di Einstein:

ove k è la costante di Boltzman e T la temperatura in gradi Kelvin.

La densità di corrente totale, per elettroni e lacune, vale:

nelle quali il primo termine rappresenta la componente Ohmica, il secondo quella diffusiva. In qualunque tipologia di cristallo drogato non uniformemente, in cui vi è una componente diffusiva, esiste una componente ohmica antagonista che si oppone alla diffusione. Tenendo presente questa considerazione, all'equilibrio è possibile ottenere un potenziale elettrico dalla equazione di Poisson:

Risolvendo l'equazione tramite passaggi noti da Analisi Matematica 1, si ottiene la soluzione:

che è la formula per il calcolo del potenziale elettrico in un materiale semiconduttore drogato in modo non uniforme (con lo stesso identico procedimento si ottiene quella valida per le lacune, inserendo un segno meno). Si tratta di una funzione composta φ(n(x)) dove n0 è la concentrazione di elettroni calcolata nel punto di riferimento. Effettuando un semplice calcolo di formula inversa, si ottiene la funzione di concentrazione elettroni/lacune calcolata nel potenziale:

Legge dell'azione di massa

Si consideri il medesimo cristallo di Silicio drogato di tipo n. La concentrazione di lacune ed elettroni liberi all'equilibrio in un punto x1 è definita dalle equazioni:

Eseguendo il prodotto membro a membro, si arriva nella condizione secondo cui il prodotto tra la concentrazione
di portatori di carica al punto 0 è pari a quella nel punto 1:

Questa relazione, definita legge dell'azione di massa, definisce che all'equilibrio termico, la concentrazione di portatori non dipende dal punto in cui si calcola e tantomeno dalla concentrazione di drogante.

Infatti, il prodotto delle concentrazioni di portatori è sempre identico al quadrato della concentrazione intrinseca:

Il quadrato della concentrazione intrinseca è descritto dalla seguente espressione analitica, ed è ovviamente funzione della temperatura:

A0 è una costante, mentre EG0 è l'Energy Gap del Silicio puro, circa 1.14 eV.