Analisi della stabilità in un circuito amplificatore operazionale con retroazione negativa

 Analizzare la stabilità di un circuito in retrazione con amplificatore operazionale è un punto cruciale per capire come il circuito reagisce agli stimoli in ingresso. 

La stabilità di un amplificatore operazionale e del circuito di retroazione sono fortemente legati ai componenti elettronici presenti. L’analisi della stabilità viene effettuata a partire dal guadagno di anello. Il principio di Nyquist afferma che un sistema è stabile se il diagramma polare associato non tocchi e non circondi il punto critico, -1.

A questo proposito, viene di grande utilità l'analisi dei margini di guadagno e di fase, in particolar modo il secondo. Il margine di fase è la distanza angolare, nel diagramma polare, del punto che ha modulo pari a 1 dal punto critico, -1. L'obiettivo da perseguire è che il margine di fase PM sia maggiore di 45° (figura 1). La ragione di questa regola sta nel fatto che l'uscita, nel dominio nel tempo, non presenta particolare sovraelongazione, raggiungendo un buon risultato in termini di affidabilità del circuito. 

Figura 1: PM maggiore di 45°.

Secondo polo in un amplificatore operazionale

Prima di proseguire, è giusto vedere cosa accade se la f.d.t. di un amplificatore operazionale contiene un secondo polo.

si devono osservare due casi:

1. frequenza del secondo polo maggiore della frequenza di transizione a guadagno unitario: la frequenza di transizione corrisponde ancora al prodotto GBW (guadagno - larghezza di banda) e il secondo polo non ha particolari ripercussioni sul sistema in retroazione (figura 2);

   

   Figura 2: secondo polo maggiore della frequenza di transizione.
   

   
   
2. Frequenza del secondo polo inferiore alla frequenza di transizione a singolo polo: La frequenza di transizione non corrisponde più al prodotto GBW. (figura 3).

   

   Figura 3: secondo polo inferiore alla frequenza di transizione calcolata rispetto al primo (in rosa).

   
   

Per capire in quale caso ci si trova occorre prima trovare la frequenza di transizione calcolata al primo polo (a frequenza inferiore) tramite il solito calcolo. Se questa è maggiore della frequenza del secondo polo, allora ci si trova di fronte al secondo caso. Viceversa, siamo nel primo caso.

Ora, si provi a stabilire il margine di fase di un amplificatore operazionale con due poli. Il procedimento generico, anche favorito, è quello che si ottiene per via analitica, ossia eseguendo tutti i calcoli, a partire dalla frequenza di transizione del guadagno di anello e successivamente l'argomento. Si consiglia l'utilizzo dei diagrammi di bode solo con un simulatore, poiché con carta e penna si potrebbero ottenere risultati imprecisi.

Figura 4: amplificatore non invertente.

In figura 4 è raffigurato il circuito di un amplificatore operazionale invertente con una coppia di resistenze in retroazione. I dati sono i seguenti:

Per procedere al calcolo, occorre prima di tutto definire la funzione guadagno di anello tramite la coppia di funzioni di trasferimento.

Ora è necessario porre il modulo di questa funzione pari a 1 (0 dB) e trovare a quale frequenza fT ciò avviene. Per quanto concerne la f.d.t., la frequenza di transizione a singolo polo sarebbe

ma la frequenza del secondo polo è proprio la metà del valore appena trovato! La frequenza di transizione quindi non è nota. Si ponga il modulo di T pari a 1.

ora la frequenza di transizione del guadagno di anello è nota. Non ci resta che calcolare la fase a questa frequenza:

Il margine di fase risultante è

Un risultato che afferma la non completa stabilità del sistema. L'unico modo di aumentare questo margine è quello di agire sui valori della coppia di resistori. Siano dati i due resistori identici con resistenza 1 kOhm. La funzione guadagno di anello diviene:

Con lo stesso procedimento, si ricava la frequenza di transizione a guadagno unitario:

La fase del guadagno di anello alla frequenza appena ricavata è

Il margine di fase passa ora da 39° a

Il margine di fase è ora maggiore di 45°, quindi il sistema è stabile. Anche senza l'ausilio dei diagrammi di Bode, si è ricavata una stima ottima della stabilità del sistema.