Analisi dei circuiti lineari in frequenza - le trasformate di Fourier

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Figura 1: sistema lineare

Un circuito lineare elettrico, detto anche sistema lineare, è un circuito composto solo da componenti lineari, quali resistori, condensatori e induttori (figura 1). La proprietà principale dei sistemi lineari è la soddisfazione del principio di sovrapposizione degli effetti. Sia y[x(t)] il segnale in uscita al sistema e siano x1(t) e x2(t) due segnali in ingresso. Vale dunque:

 

Dimostrare la linearità dei componenti passivi è un procedimento alquanto semplice, supponendo di avere una coppia di segnali di tensione in ingresso

Si ricorda, soprattutto, che i transistori e i diodi sono componenti non lineari.

In regime sinusoidale AC, l'analisi dei circuiti può essere svolta in modo più semplice. Se i segnali di corrente e tensione sono di tipo sinusoidale, è possibile ottenere una rappresentazione delle seguenti grandezze tramite fasori. Si definiscono fasori numeri complessi che rappresentano l'ampiezza e la fase di una sinusoide.
La relazione di Eulero stabilisce che 
dunque, una tensione sinusoidale con date ampiezza e fase può essere scritta come parte reale di un esponenziale complesso, come segue:
Tramite le proprietà delle potenze, è possibile ottenere un importante risultato:
che rappresenta il fasore della tensione sinusoidale. Allo stesso modo può essere fatto per le correnti.
Una tensione di tipo sinusoidale pura, ossia un seno, può essere convertita nella forma coseno tramite la traslazione di 90° verso destra
il rapporto tra il fasore tensione e il fasore corrente si definisce impedenza.
e ha la stessa unità di misura di una resistenza. Il reciproco, ossia il rapporto tra fasore di corrente e fasore di tensione, si definisce ammettenza e ha la stessa unità di misura di una conduttanza.
La parte reale dell’ impedenza si dice resistenza R, la parte immaginaria si dice reattanza X. Per un’ammettenza, invece, la parte reale si dice conduttanza G, la parte immaginaria di dice suscettanza B.

Componenti passivi trasformati secondo Fourier

Dopo aver trovato un'espressione fasoriale per tensioni e correnti sinusoidali, è necessario trovare un'espressione fasoriale per l'impedenza di ognuno dei componenti passivi. Per fare ciò, occorre partire dalla trasformazione delle relazioni costitutive degli elementi passivi dal dominio del tempo al dominio delle frequenze. La trasformata di Fourier è ciò che realizza questo scopo.
La definizione di trasformata di Fourier è definita dalla legge che segue:
Alcune proprietà fondamentali al fine dell’analisi dei componenti sono rappresentate in questa tabella:
Tabella 1: proprietà della trasformata di Fourier.

  1. RESISTENZA: è la più semplice, in quanto è il rapporto tra tensione e corrente, ed è costante nel tempo. A partire dalla legge di Ohm e dalla proprietà di linearità della trasformata,
    L’impedenza associata a un resistore é reale ed è identica al valore della resistenza.

  2. CONDENSATORE: la relazione costitutiva mette in relazione corrente e tensione attraverso la derivata della seconda. Il valore della capacità è costante. Utilizzando le proprietà di linearità e della derivata di una grandezza, l'impedenza capacitiva diviene:
    L'impedenza è puramente immaginaria.

  3. INDUTTORE: Anche la relazione costitutiva dell'induttore presenta una derivata nel legame tra tensione e corrente. Essendo anche qui costante l'induttanza, utilizzando ancora linearità e proprietà della derivata, si ottiene:
    anche in questo caso, l'impedenza è puramente immaginaria.
Da questa analisi, è possibile ottenere alcune conclusioni:
  • Il resistore non cambia il suo modo d'essere, essendo sempre costante;
  • la capacità ha un'impedenza dipendente dalla frequenza. Inserendo questo componente in circuiti ad alta frequenza, la sua impedenza tende a zero, cosi che il condensatore si comporti come un cortocircuito;
  • L'induttanza, la cui impedenza anch'essa dipendente dalla frequenza, ha un comportamento assimilabile al circuito aperto ad alte frequenze.

Valgono i medesimi procedimenti per la combinazione in serie e in parallelo di impedenze, come per le resistenze:  
  1. Impedenze in serie (figura 2)
    Figura 2: impedenze in serie.

    Il calcolo dell'impedenza equivalente è: 

  2. Impedenze in parallelo (figura 3)
    Figura 3: impedenze in parallelo.
    L'impedenza equivalente è:





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