Conversione analogico - digitale (ADC) e digitale - analogico (DAC) con amplificatori operazionali

Convertitore Analogico - Digitale (ADC)

 La conversione di un segnale da analogico a digitale (figura 1) può essere effettuata con diverse tipologie di architettura, intesa come sistema di interconnessioni tra componenti elettrici.

Figura 1: schema ADC.

Si supponga di avere un sensore che capti una grandezza fisica e la mandi in uscita come segnale di tensione. L'intervallo di valori di tensione che può assumere è limitato e il massimo valore si definisce fondo-scala. Il numero di bit con cui si vuole rappresentare in digitale un segnale analogico è definita risoluzione.

Conversione con risoluzione 1 bit

Il caso più semplice di conversione da analogico a digitale è il convertitore a un bit di risoluzione. Il segnale analogico in ingresso può assumere qualsiasi valore tra zero e il valore di tensione di fondo-scala. Su un grafico tensione-tensione, è una semplice retta. Il margine di riferimento si ottiene dividendo a metà il valore di fondo-scala. Si effettua una quantizzazione del segnale analogico. I valori di tensione in ingresso minori del valore di metà fondo-scala verranno valutati come "zero", viceversa i valori superiori verranno valutati come "uno". Il grafico in figura 2 rappresenta la situazione.

Figura 2: conversione 1 bit.

Gli intervalli appena definiti sono detti intervalli di quantizzazione. In espressioni analitiche il risultato della trattazione può essere espresso come:

La realizzazione circuitale di questo semplice convertitore non richiede altro che un amplificatore operazionale in funzione di comparatore. Per definizione, il comparatore può dare in uscita soltanto il valore di saturazione positiva, quando l'ingresso positivo è maggiore del negativo. Viceversa, quando l'ingresso negativo è maggiore di quello positivo, l'uscita va in saturazione negativa.

Dal grafico in figura 2, il valore di riferimento che deve far "scattare" il comparatore da zero a uno è il valore di metà fondo-scala. Questo valore di tensione sarà applicato costante all'ingresso negativo come valore di riferimento, così da essere sottratto al valore di tensione in ingresso dal comparatore, che farà le adeguate verifiche. Il circuito è mostrato in figura 3.

Figura 3: comparatore ADC con risoluzione 1 bit.

Il grafico in figura 4, invece, mostra come varia l'uscita (in blu) del comparatore quando l'ingresso (in rosso) cambia continuamente valore. Si suppone l'uscita oscillante tra il valore massimo e zero.

Figura 4: segnale analogico all'ingresso e segnale digitale all'uscita del comparatore.

Convertitore con risoluzione 2 bit - caso generale

Per rappresentare una grandezza su due bit, si può pensare di dividere l'intervallo di tensione in ingresso tra zero e il fondo-scala in 4 intervalli, come mostrato nel grafico in figura 5:

Figura 5: fondo-scala diviso in quattro intervalli.

Si intuisce subito un risultato importante: sapendo la risoluzione n del convertitore, il fondo-scala viene diviso in un numero di intervalli pari alla potenza n-esima di due.

Inoltre, è necessario notare la presenza di una grandezza che ha fondamentale importanza nella conversione AD, e si definisce errore di quantizzazione. Si tratta della differenza tra il valore reale (analogico) e il valore che si ottiene in uscita dal convertitore. Dal grafico in figura 5 l'errore di quantizzazione si evidenzia nella differenza tra la retta in verde e i gradoni in rosso. L'errore di quantizzazione è maggiore verso l'estremo superiore di ogni intervallo di quantizzazione. Si osservi la figura 6.

Figura 6: errore di quantizzazione osservato in un generico punto.

La soluzione a questo errore non è totale, si potrebbe aumentare la risoluzione, così che l'ampiezza degli intervalli di quantizzazione sia inferiore. Senza modificare la risoluzione, tuttavia, è possibile ridurre l'errore di metà traslando gli intervalli di quantizzazione di un ottavo del fondo-scala, come mostrato in figura 7. 

Figura 7: nuova quantizzazione.

Avendo sempre due bit a disposizione per la risoluzione, occorre capire quando il valore di tensione analogico farebbe variare l'uscita del convertitore ADC, rispettando la nuova regola di quantizzazione. A questo proposito vengono introdotte delle soglie di tensione in corrispondenza delle intersezioni verticali dei "gradoni" di quantizzazione, soglie per le quali l'uscita dell'ADC potrà variare. Figura 8.

Figura 8: soglie di tensione.

I valori di soglia, in questo caso, sono i seguenti:

Osservando il grafico in figura 8, è possibile affermare che la soglia S3 non ha risultati particolari, in quanto il valore in uscita dal convertitore non varia.

Il circuito può essere realizzato con soltanto tre comparatori, uno per ogni sogliola. Il valore di riferimento, questa volta, sarà la soglia stessa che entrerà nell'ingresso negativo del comparatore. Essendo le soglie funzione della tensione di fondo-scala, si può creare un partitore resistivo, alimentato da una tensione costante pari al fondo-scala. Il circuito è mostrato in figura 9.

Figura 9: comparatori con diverse soglie. 

La tensione di riferimento del comparatore a deve essere pari a un ottavo del fondo-scala, quella del comparatore b deve essere pari a tre ottavi del fondo-scala e quella del comparatore c deve essere pari a cinque ottavi del fondo-scala. I resistori andranno dimensionati al fine di ottenere questi risultati.

Si osserva che non appena un comparatore assume uscita alta, tale rimane fino a quando la tensione di riferimento lo permette. Inoltre, se uno dei comparatori superiori ha valore alto in uscita, allora tutti quelli inferiori presentano valore alto, così da realizzare un codice a termometro. In figura 10, è rappresentata l'uscita dei tre comparatori in riferimento al grafico di quantizzazione.

Figura 10: stato dei comparatori in relazione alle soglie definite.

L'uscita è un codice a tre bit, contrariamente a quanto cercato. Con una semplice logica combinatoria è possibile prelevare i valori dei tre comparatori per portare in uscita dal convertitore la coppia di bit definita. Si osserva come deve essere l'uscita dell'ADC in relazione ai valori dei comparatori:

i valori "-" significa indifferenti poichè non sono condizioni fisicamente realizzabili.

Tramite l'ausilio delle Mappe di Karnaugh, è possibile ottenere una coppia di funzioni logiche per ottenere i valori binari X1 e X0

Il circuito finale del convertitore ADC è mostrato in figura 11.

Il bit X1 è detto bit più significativo (MSB) e il bit X0, di conseguenza, è il bit meno significativo (LSB).

Figura 11: convertitore AD termometrico.

In generale, è possibile realizzare qualsiasi conversione AD con questa tipologia, tuttavia un numero grande di bit di risoluzione porterebbe a realizzare convertitori che occuperebbero molta area. Dunque, il convertitore termometrico viene utilizzato su un numero contenuto di bit di risoluzione.

Convertitore Digitale - Analogico (DAC)

La conversione può anche essere effettuata inversamente, ossia passare da una n-upla di segnali digitali a un solo segnale di tensione analogico.

 Al fine di compiere questa conversione, occorre partire da una stringa di n cifre binarie. Secondo la notazione posizionale, un numero binario A composto da n cifre può essere scritto come:

Raccogliendo un fattore potenza ennesima di 2, si ottiene:

i coefficienti a i-esimi possono, ovviamente, assumere valore zero o valore 1. 

A questo punto la tensione in uscita dal DAC, come accadeva per il segnale di ingresso di un ADC, deve variare su un intervallo tra una tensione 0 e una tensione di fondo-scala. Dunque l'uscita del DAC deve essere:

Il risultato è che la tensione uscente da un convertitore digitale-analogico + pari alla somma pesata di rapporti tra il fondo-scala e la potenza i-esima di due, ognuno di essi moltiplicato per il bit i-esimo. La somma può essere fatta con un sommatore analogico a n ingressi.

La resistenza di retroazione può assumere valore arbitrario R, le resistenze degli ingressi, Rx valore di base, devono essere dimensionate sulla base della potenza i-esima legata alla posizione del bit

figura 12: Circuito DAC con sommatore analogico.

La tensione in uscita è la seguente:

Ovviamente, come si vede le resistenze sono dimensionate a seconda della posizione del bit i-esimo. Il bit più significativo è diviso per il valore base della resistenza Rx, mentre il bit meno significativo è diviso per il valore con la resistenza di valore maggiore.

Essendo il sommatore analogico, di per sè, invertente, può essere seguito all'uscita da un amplificatore invertente con guadagno unitario (resistenze identiche) così da ottenere un'uscita positiva, come mostrato in figura 13.

Figura 13: Sommatore analogico seguito da amplificatore invertente