Integratore e derivatore con amplificatore operazionale

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 L'inserimento di una capacità nel circuito collegato a un amplificatore operazionale permette di creare una coppia di circuiti utilizzati largamente, specialmente per segnali di ingresso variabili nel tempo con una certa frequenza. Si tratta del circuito derivatore invertente e il complementare integratore invertente.

Il circuito di partenza è l'amplificatore invertente, al quale verrà sostituita la capacità prima alla resistenza di ingresso, per dar luogo al derivatore, e poi alla resistenza tra uscita e terminale invertente, per dar luogo all'integratore.

Derivatore invertente 

Figura 1: circuito derivatore invertente.

Per definizione, il circuito derivatore invertente ha lo scopo di calcolare l'opposto della derivata del segnale in ingresso. Il circuito è mostrato in figura 1. 
Il calcolo dell'uscita, in funzione dell'ingresso, viene effettuato a partire prima di tutto dall'ipotesi di cortocircuito virtuale, dunque tensione all'ingresso invertente uguale alla tensione all'ingresso non invertente. Successivamente, viene fatto il bilancio delle correnti al nodo non invertente. trattandosi di un'operazionale ideale, la corrente sul condensatore è pari alla corrente sulla resistenza.

Dalle leggi appena ottenute, è possibile ottenere la funzione dell'uscita in funzione del tempo: 
come volevasi dimostrare.


Integratore invertente

Il circuito integratore è il duale del derivatore, infatti ha lo scopo di calcolare l'integrale del segnale di ingresso dall'istante in cui viene "acceso". La posizione di resistenza e capacità viene scambiata. Questa volta la resistenza è connessa all'ingresso e la capacità è connessa tra uscita e ingresso invertente. Il circuito è mostrato in figura 2:
Figura 2: circuito integratore invertente.

L'analisi dell'uscita viene fatta a partire dalla condizione di cortocircuito virtuale e dal bilancio delle correnti al nodo invertente, come nel caso precedente.
risolvendo l'equazione in alto, si ottiene subito che 
come volevasi dimostrare.


Effettuando la trasformata di Fourier (o Laplace, partendo da zero e non su tutto l'asse dei Numeri Reali) è possibile ottenere un guadagno di tensione in frequenza dei circuiti appena esposti, ricordando che la resistenza diventa un'impedenza con il valore stesso, mentre la capacità diventa un'impedenza il cui valore dipende dalla frequenza:
Con questa coppia di relazioni, è possibile sviluppare gli stessi calcoli sopra esposti. 
Attenzione! Lavorando con impedenza, le tensioni diventano fasori e sono funzioni della frequenza. Il fasore è semplicemente la trasformata della tensione di ingresso/uscita. Un esempio è riportato in figura 3.
Figura 3: Integratore invertente nel dominio dei fasori.


Avendo già a disposizione le tensioni in uscita in funzione del tempo, è più comodo partire da quelle per calcolare la risposta in frequenza dei due circuiti. Le trasformate della derivata e dell'integrale, invece, sono:
Ove V(ω) è la trasformata di Fourier della funzione tensione nel tempo.
Unendo queste considerazioni, possiamo dunque ottenere i guadagni in frequenza dei due circuiti appena descritti:

Il rapporto tra tensione in uscita e tensione in ingresso è detto guadagno di tensione. 






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