Diagrammi di Bode per l'analisi in frequenza della funzione di trasferimento

 Rappresentare graficamente l’andamento di una funzione di trasferimento armonica significa osservare come varia in guadagno di un sistema lineare in funzione della frequenza. Una rappresentazione lineare delle funzioni di trasferimento, tuttavia, non sarebbe utile allo scopo per il fatto che la scala delle frequenze è troppo piccola.

La soluzione a questa mancanza sta nel sostituire la scala lineare delle frequenze in coordinate logaritmiche. È allo stesso modo, la funzione di trasferimento viene valutata in scala logaritmica. Questa è la base per la costruzione dei diagrammi di Bode. i suddetti diagrammi rappresentano l'andamento nella frequenza del modulo della funzione di trasferimento, in deciBel, e la fase, in gradi/radianti.

La funzione di trasferimento, infatti, è una funzione complessa di variabile complessa. Come tale, può essere definita tramite un modulo e una fase.

La scala deciBel

L'utilizzo dei logaritmi per la rappresentazione delle funzioni di trasferimento è utile in virtù di alcune proprietà fondamentali dei logaritmi:

in particolare, è di fondamentale importanza che i prodotti diventano somme e i rapporti diventano differenze. 

Il Bel è, storicamente, l'unità di misura utilizzata per definire il logaritmo del rapporto tra due potenze. Il deciBel, invece, è la decima parte di un Bel. In formule, un guadagno in decibel si esprime come:

Il legame tra una potenza e una tensione/corrente è di tipo quadratico. Sostituendo alle potenze una coppia di tensioni, si ottiene quanto segue:

L'esponente delle tensioni esce dall’argomento del logaritmo e va a moltiplicare il coefficiente 10. In conclusione, i rapporti tra le potenze, in decibel, necessitano di un fattore 10 davanti al logaritmo; i rapporti tra tensioni/correnti, invece, necessitano di un fattore 20 davanti al logaritmo.

Ora è possibile procedere alla conversione logaritmica della funzione di trasferimento. Essendo per definizione il rapporto tra due grandezze omogenee (tensioni/correnti, tralasciando transimpedenze e transammettenze), il calcolo in decibel della funzione di trasferimento è del tutto coerente.

Passando al logaritmo naturale della funzione di trasferimento, si ottengono due componenti:

la prima componente è il logaritmo del modulo, funzione della frequenza. La seconda, invece, è semplicemente la fase.

Diagramma di Bode del modulo

Il diagramma del modulo è detto anche magnitudine e mostra l'andamento del guadagno al variare della frequenza cui il sistema lineare è posto. Lo scopo è costruire un grafico asintotico a partire dalla funzione di trasferimento di un sistema lineare, tramite alcune approssimazioni matematiche.

Il grafico del diagramma del modulo è mostrato in figura 1. Si tratta di un grafico a coordinate logaritmiche: la frequenza si trova sull'asse delle ascisse. La distanza tra un punto e un altro è definita decade.

Figura 1: grafico del modulo di Bode

Si consideri quindi una funzione standard:

 Passando al logaritmo, la funzione di trasferimento in decibel ha equazione:

Si analizzi pezzo per pezzo come graficare i vari elementi della funzione di trasferimento.

1. Guadagno costante K: per definizione, un guadagno è un numero puro. Si prenda il logaritmo
   
   

   trattandosi di una costante, nel diagramma di Bode sarà una retta orizzontale. Tenendo conto che si sta tracciando il diagramma del modulo, non interessa il segno (figura 2).

   

   Figura 2: diagramma di Bode per un guadagno costante.

   
   
2. Zero nell'origine: si consideri uno zero nell'origine moltiplicato per un eventuale coefficiente (con unità d misura un tempo) e si passi al logaritmo del suo modulo.

   

   Nel diagramma logaritmico, si tratta di una retta generica, passante per l'origine se il coefficiente A fosse pari a 1. Il grafico è mostrato in figura 3. La pendenza è di 20 dB/dec (decibel per decade).

   

   Figura 3: diagramma di Bode per uno zero nell'origine.

   
   
3. Polo nell'origine: si ragiona allo stesso modo dello zero nell'origine, ma in negativo, come mostrato nella formula.

   

   La retta associata nel diagramma di Bode ha pendenza negativa e cala di -20 dC/dec (figura 4).

   

   Figura 4: diagramma di Bode per un polo nell'origine.

   
   
4. Zero generico: ragionare su uno zero generico è simile allo zero nell'origine, ma situato in un'altra posizione sull'asse delle frequenze. 

   

   Grazie all'analisi matematica, si può osservare come varia questa funzione a seconda del valore assunto dalla pulsazione/frequenza:

   

   da cui si può concludere che il diagramma asintotico ha valore zero i-esimo per valori inferiori allo zero, mentre va come una retta per valori superiori allo stesso zero i-esimo (figura 5).

   

   Figura 5: diagramma di Bode per uno zero generico.
   
   

5. Polo generico: stesso ragionamento fatto per lo zero generico, ma in negativo. 

   

   allo stesso modo risulta che il risultato del logaritmo è zero per valori inferiori al polo i-esimo, mentre va come una retta a pendenza negativa (-20 dB/dec) per valori superiori al polo stesso. Il grafico è mostrato in figura 6.

   

   Figura 6: diagramma di Bode per polo generico.

   
   
6. Zeri/poli complessi coniugati: si consideri il caso di soli poli, essendo quello degli zeri identico, con la sola pendenza simmetrica rispetto all'asse delle frequenze. Il modulo di una coppia di poli complessi - coniugati è il medesimo. 

   

   
   Per valori di ω minori del modulo del polo, il modulo in decibel tende a zero. Al contrario, per valori molto alti di omega, la funzione modulo può ridursi come segue: il fattore di smorzamento è un fattore molto piccolo, compreso tra zero e uno. Il secondo addendo nella parentesi è trascurabile.

   

   Dunque, nota la pulsazione naturale dei poli complessi coniugati, il diagramma del modulo asintotico è una retta con pendenza -40 dB/dec. Il grafico è mostrato in figura 7.

   

   Figura 7: diagramma di Bode associato a poli complessi coniugati.
   
   

Alcune considerazioni: 

i poli/zeri, come già osservato, possono avere una molteplicità maggiore di uno. Il diagramma di Bode, ovviamente, risente della molteplicità aritmetica. Sia pk il polo k-esimo con molteplicità q maggiore di 1.

La dimostrazione appena effettuata evidenzia che la pendenza della retta associata al polo (oppure a uno zero) di molteplicità q varia in proporzione alla molteplicità stessa.

I poli complessi coniugati sono caratterizzati da una pulsazione naturale e da un fattore di smorzamento. Il diagramma asintotico non evidenzia il contributo al diagramma di Bode realistico legato a una coppia di poli complessi coniugati. Il fattore di smorzamento porta a un picco di risonanza nelle seguenti condizioni:

Il diagramma di Bode realistico è il seguente (figura 8):

Figura 8: poli complessi coniugati al variare del fattore di smorzamento.

All'aumentare del fattore di smorzamento, il picco di risonanza si annulla, così che il diagramma asintotico è più simile alla realtà. Al contrario, più va verso valori prossimi a zero, maggiore è il picco.

Diagramma di Bode della fase

A differenza del diagramma dei moduli, il diagramma delle fasi è realizzato in modo leggermente diverso. L'asse delle ascisse continua a essere destinata alle frequenze in scala logaritmica. L'asse delle ordinate, invece, rimane in scala lineare ed è destinata agli angoli, in gradi o radianti (figura 9).

Figura 9: diagramma delle fasi.

Osserviamo ora come analizzare la fase di ogni singolo componente della funzione di trasferimento:

1. Guadagno costante: il guadagno costante della funzione di trasferimento può essere positivo o negativo. Nel primo caso ha fase pari a 0°, nel secondo caso, invece, ha fase pari a 180° (figura 10).

   

   Figura 10: fase associata al guadagno costante.

   
   
2. Polo/zero nell'origine: un polo/zero nell'origine è un numero immaginario puro. Questo significa che la sua fase è identicamente pari a 90°. Se è uno zero +90°, altrimenti, nel caso del polo, -90° (figura 11).

   

   Figura 11: fase per un polo/zero nell'origine.

   
   
3. Polo/zero generico: la fase associata a un polo/zero generico è calcolata come l'arcotangente del rapporto tra parte immaginaria e parte reale,
   
   dunque si può procedere con le medesime approssimazioni matematiche effettuate per il grafico del modulo.
   
   per gli zeri è valida la stessa considerazione, ma con i segni opposti. In figura 12 è mostrato il grafico associato alla fase di un polo/zero generico. Come tolleranza, si considerano due decadi. La decade precedente al polo/zero ha una fase che varia tra 0° e ±45°, mentre quella successiva, la fase varia tra ±45° e ±90.

   

   Figura 12: fase per un polo/zero generico.

   
   
4. Poli/zeri complessi coniugati: la fase associata a una coppia di poli coniugati è
   
   allo stesso modo per gli zeri, ma con il segno positivo. Ancora una volta si ricorre alle approssimazioni come nel caso precedente. 
   
   Il grafico è mostrato in figura 13. Per lo zero complesso coniugato valgono le medesime considerazioni, con il grafico della fase che passa solo al di sopra dell'asse delle frequenze. 

   

   Figura 13: fase associata a un polo/zero complesso coniugato.

   
   

Anche per le fasi, la molteplicità del polo/zero ha fondamentale importanza. Come nel caso precedente, se un polo/zero ha una molteplicità q, anche la sua fase sarà moltiplicata di un fattore q.

Il modo di realizzare grafici asintotici completi, sia per il modulo, sia per la fase, è quello di sommare algebricamente tutte le rette asintotiche ottenute.

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Esempio: si consideri la seguente funzione di trasferimento. Ricavarne poli e zeri e costruire i diagrammi di Bode asintotici.

Il primo passo da seguire è quello di scrivere la funzione di trasferimento nella forma standard. Raccogliamo, a denominatore, il fattore 2 nella prima parentesi e il fattore 10 nella seconda:

Da cui è facile ricavare il guadagno costante, K = 10, la presenza di uno zero nell'origine e due poli, uno in 2 e uno in 10.

Il diagramma dei moduli è il seguente (figura 14):

Figura 14: diagramma dei moduli associato alla f.d.t. in esame.

Analizzare ora le fasi per ricavarne il diagramma è molto semplice. La costante K è positiva, lo zero nell'origine ha una fase pari a 90° e i due poli hanno fase decrescente. In figura 15 vi è il diagramma di Bode delle fasi associato.

Figura 15: diagramma delle fasi associato alla f.d.t.